Comment vérifier la simplification d’une équation logique avec une table de vérité ?

Représentation d’une table de vérité avec Wolfram Alpha.

Les systèmes logiques sont présents dans de nombreux programmes de formation et à tous les niveaux; bac professionnel (bac pro) , bac technologique STI2D , bac S – SI (sciences de l’ingénieur), BTS, DUT, et CPGE (MPSI, TSI, PT).

Son étude s’appuie sur les fonctions logiques de base (OUI, NON, ET, OU, OU exclusif) et fait partie d’une culture technologique de base pour toutes formations technologiques.
 
La table de vérité (truth table) est un outil indispensable en logique combinatoire. Elle représente les états d’une variable logique de sortie à partir des différentes combinaisons des variables d’entrée.
 
Il existe un outil en ligne rapide et gratuit pour cela: Wolfram Alpha à l’adresse suivante: http://www.wolframalpha.com/
Wolfram alpha Cet outil permet notamment de représenter la table de vérité d’une équation logique.
 
À travers deux exemples de niveau différent, je vais montrer comment représenter rapidement et gratuitement une table de vérité à partir d’une expression logique.

Exemple n°1:

Prenons par exemple l’expression logique suivante:
exemple 1 - expression logique et fonctions
 
Dans Wolffram alpha pour obtenir la table de vérité d’une expression logique il faut saisir la commande ‘truth table puis l’équation logique en remplaçant la notation algébrique des fonctions logiques par l’équivalent anglo-saxon.
 
  • or = fonction logique OU
  • and = fonction logique ET
  • ~ = fonction NON
wolfram alpha - format
Equation logique 1 - wolfram alpha
On obtient la table de vérité ci-dessous, avec “T” = “True” = “1” et “F”= “False” = “0”
 
Exemple 1 - Table de vérité - Wolfram Alpha
Table de vérité n°1

 

La table de vérité peut être aussi utilisée pour vérifier par exemple la simplification d’une expression logique.

L’expression ci-dessus peut se simplifier algébriquement par:
equation logique 1 simplifiéVérifions la table de vérité avec Wolfram alpha la table de vérité.
De la même façon que précédemment, l’expression logique dans la barre de saisie se transforme de la manière suivante:
 
Equation logique 1 simplifié - wolfram alpha On obtient la table de vérité suivante:
Exemple 1 simplifié - Table de vérité - Wolfram Alpha
Table de vérité n°2

Les deux tables de vérité sont identiques. La simplification algébrique est donc correcte.

 

Exemple n°2:

Prenons maintenant comme deuxième exemple une équation logique plus complexe avec 3 variables d’entrée à simplifier algébriquement:
equation logique 2 simplifié
 
De la même façon que précédemment, l’expression logique dans la barre de saisie se transforme de la manière suivante:
Equation logique 2 simplifié - wolfram alpha
 
truth table (~a and b and c ) or (a and ~b and c) or (a and b and ~c ) or (a and ~b and ~c) or (~a and ~b and c)
 
On obtient la table de vérité ci-dessous:
Exemple 2 - Table de vérité - Wolfram Alpha
Après simplification l’expression logique devient:
equation logique 2 simplifié
Vérifions avec Wolfram Alpha sa validité:
Equation logique 2 simplifié - wolfram alpha
L’expression logique dans la barre de saisie se transforme de la manière suivante:
On obtient la table de vérité ci-dessous:
Exemple 2 simplifié - Table de vérité - Wolfram AlphaLes deux tables de vérité sont identiques, par conséquent la simplification algébrique est correcte.

Comment simplifier une expression logique avec une table de Karnaugh ?

Tableau de Karnaugh

Un tableau de Karnaugh est un outil graphique permettant de simplifier graphiquement des équations logiques. Cette méthode a été développée par Maurice Karnaugh en 1953.

600px-Karnaugh_map_KV_4mal4_21.svg

Une table de Karnaugh peut être vu comme une table de vérité particulière, à deux dimensions, destinées à faire apparaître visuellement les simplifications possibles.

Deux méthodes de simplification

Pour déterminer l’expression logique, on peut utiliser 2 méthodes

  • former une somme ;
  • former un produit.

La méthode former par une somme

Pour trouver l’équation, il faut regrouper les valeurs de S égales à 1. Les groupes formés doivent être les moins nombreux possibles, mais ils doivent englober tous les 1.

Utilisation_karnaugh

Pour terminer, on fait la somme des groupes formées (somme de produit).

Cette méthode simple et rapide, permet de trouver une équation visuellement, et propose une alternative à la simplification d’équation (calcul booléen) , qui peut rapidement devenir fastidieuse.

La méthode former par un produit

Pour trouver l’équation, il faut regrouper les valeurs de S égales à 0.

En regroupant les 0, on trouve S’ sous forme d’une somme, et par complémentation, on obtient S sous forme de produit (produit de somme).

Application Android ” FLX Karnaugh

J’ai testé la version gratuite 1.1. Pour l’installer sur votre Smartphone ou sur votre tablette, vous avez besoin de la version Android 3 ou une version ultérieure. Vous pouvez la télécharger en cliquent ici.

FLX KarnaughL’application Android ” FLX Karnaugh ” est gratuite et comme toute application de ce genre, vous recevrez de temps en temps de la publicité, mais elle ne gêne en rien son utilisation.

Pour présenter les fonctionnalités de l’application ” FLX Karnaugh ” j’utiliserai l’épreuve de Mathématiques pour l’informatique Session 2013 Métropole du BTS Services Informatiques aux Organisations.

Cette épreuve de 2 heures comportée 3 partie, nous nous concentrons ici sur uniquement la première partie.

BTS SIO – 2013 – Epreuve E21 – Mathématiques pour l’informatique

Cette épreuve de 2 heures comportée 3 partie. Nous nous concentrons ici sur uniquement le premier exercice. Vous pouvez télécharger en cliquant ici.

Exercice 1 (6 points)

Le directeur des ressources humaines (DRH) d’une mairie doit recruter une personne pour un travail concernant la circulation des voitures dans le centre-ville.

Partie A

Pour faire son choix, le DRH met en place trois critères de sélection concernant les connaissances en informatique, l’expérience dans le domaine concerné et le suivi d’un stage de formation spécifique.

La personne recrutée devra:

  • avoir des connaissances informatiques et de l’expérience dans le domaine concerné;
  • ou ne pas avoir de connaissances informatiques, mais avoir suivi un stage de formation spécifique;
  • ou ne pas avoir d’expérience dans le domaine concerné, mais avoir suivi un stage de formation spécifique.

On définit les trois variables booléennes a, b et c suivantes :

  • a =1 si la personne possède des connaissances informatiques, a =0 sinon;
  • b = 1 si la personne possède de l’expérience dans le domaine concerné, b = 0 sinon;
  • c = 1 si la personne a suivi un stage de formation spécifique, c=0 sinon.
  1. Décrire la situation correspondant au produit a.b./c

a.b./c signifie que la personne possède des connaissances informatiques (a=1) et de l’expérience dans le domaine concerné (b=1), mais n’a pas suivi de stage spécifique de formation (c=0).

  1. Définir l’expression booléenne E correspondant aux critères de sélection du DRH.

E = a.b + /a.c + b.c

  • Sous forme littérale, on obtient :

Le DRH veut que :

la personne possède des connaissances informatiques (a=1) ET de l’expérience dans le domaine concerné (b=1)

OU

la personne ne possède pas des connaissances informatiques (a=0) ET la personne a suivi un stage de formation spécifique (c=1)

OU

la personne a de l’expérience dans le domaine concerné (b=1) ET a suivi un stage de formation spécifique (c=1)

  1. À l’aide d’un diagramme de Karnaugh ou d’un calcul booléen, trouver une écriture simplifiée de l’expression booléenne E sous la forme d’une somme de deux termes.
  • Tableau de Karnaugh (méthode graphique)

Pour cette méthode, nous utiliserons l’application Android “FLX Karnaugh

L’application est simple d’utilisation; Vous sélectionnez le nombre de variables (inputs), vous compléter votre table de vérité et vous obtenez le tableau de Karnaugh avec les regroupement et en bas de l’écran l’équation simplifier S = a.b + c.

FLX Karnaugh

  • Calcul booléen (algèbre de Boole)

Je propose d’utiliser un outil que je vous ai déjà présenté dans d’autres billets à savoir Wolfram Alpha à l’adresse suivante: http://www.wolframalpha.com/

Wolfram alphaLa procédure est relativement simple.

Saisissez votre expression booléen dans la barre de saisie de Wolfram alpha.

Wolframalpha_equation_logiqueNotation:

  • or = fonction logique OU
  • and = fonction logique ET
  • ~ = fonction NON

L’outil en ligne vous renvoie comme résultats:

  • La table de vérité (truth table);

Wolframalpha_table_verite

Notation: “T” = “True” = “1” et “F”= “False” = “0”

  • L’équation simplifiée (DNF);

Wolframalpha_equation_logique_simplification

NB: cliquer sur le bouton “text notation” pour afficher les fonctions logiques.

etc…

Par les deux méthodes, on obtient bien le même résultat: E = a.b + c

  1. Écrire une phrase donnant les conditions de recrutement correspondant à la simplification précédente de l’expression booléenne E.

La personne possède des connaissances informatiques (a=1) et de l’expérience dans le domaine concerné (b=1) OU a suivi un stage de formation spécifique (c=1).

Comment simplifier une équation logique ?

Cet article présente une application Android pour les techniciens et ingénieurs en électronique ou automatisme, et d’une manière générale pour tous les étudiants en sciences et technologie qui désirent un outil efficace pour simplifier les expressions et les équations logiques (booléennes).

L’application Android “Morgana Boolean Calculator X

simplification d'équation logique

Morgana Boolean Calculator X” est une application permettant de simplifier algébriquement une équation logique. Avec la version gratuite, que j’ai testée, vous pouvez saisir une expression logique de 4 variables et les fonctions logiques NON, OU, ET. L’application est téléchargeable en cliquant sur le lien suivant: “Morgana Boolean Calculator X

Cette application a quelque chose d’unique, elle permet non seulement de simplifier une expression logique, mais aussi, et surtout de vous montrer les différentes étapes de simplification.

L’application prend en charge les différentes propriétés de l’algèbre de Boole:

  • La commutativité;
  • L’associativité;
  • la distributivité;
  • Les éléments neutres;
  • L’idempotente;
  • L’absorption;
  • etc.

Une fonction intéressante consiste à sauvegarder la saisie de votre équation logique pour ensuite la charger plus tard.

J’ai testé la version gratuite 1.8. Pour l’installer sur votre Smartphone ou sur votre tablette, vous avez besoin de la version Android 2.3 ou une version ultérieure.

L’application Android “Morgana Boolean Calculator X ” est gratuite et comme toute application de ce genre, vous recevrez de temps en temps de la publicité, mais elle ne gêne en rien son utilisation.

L’application est en langue anglaise, mais ne nécessite aucun niveau particulier. Un simple niveau en anglais de fin de collège ou de début du lycée permet non seulement d’utiliser l’application, mais aussi de comprendre aisément la partie méthodologie pour obtenir la simplification.

Exemples de simplification algébrique d’équation logique

Pour présenter les fonctionnalités de l’application “Morgana Boolean Calculator X”, je vais utiliser dans la suite de cet article deux exemples basiques .

Pour illustrer son utilisation, j’utiliserai les 2 exemples de la page 511 du chapitre n°42, intitulée “Systèmes automatisés logiques”, du Guide des sciences et technologies industrielles
de Jean-Louis Fanchon
Dans ces exemples on souhaite simplifier les expressions logiques en utilisant les règles de l’algèbre de Boole.

Exemple n°1

On souhaite simplifier l’équation logique suivante:equation logique 2

L’application est très simple à utiliser. On saisit son équation, puis on la sauvegarde. Pour terminer, il suffit de cliquer sur le bouton entrer pour avoir le résultat et la simplification étapes par étapes.

On obtient d’après l’auteur :

equation logique 1 simplifié

équation logique 1

équation logique 2 simplifié

L’application donne un résultat différent. La simplification n’est pas terminée. On peut encore utiliser les règles de distributivité et d’absorption d’un terme pour obtenir le même résultat.

 

Exemple n°2

On souhaite simplifier l’équation logique suivante:

équation logique 2

On obtient d’après l’auteur :

équation logique 2 simplifié

L’application donne le même résultat.

équation logique 2

equation logique 2 simplifié

Vous pouvez vérifier vos résultats en vous aidant en réalisant une table de vérité, que j’ai présentée dans un précédent article: “Comment vérifier la simplification d’une équation logique avec une table de vérité?

Bilan

L’application Android “Morgana Boolean Calculator X” est un bon outil gratuit pour simplifier algébriquement les expressions et les équations logiques sans faire d’erreur, mais parfois, dans certain cas, le résultat peut être encore simplifier.

 

Comment vérifier la simplification d’une équation logique avec une table de vérité ?

Représentation d’une table de vérité avec Wolfram Alpha.

Les systèmes logiques sont présents dans de nombreux programmes de formation et à tous les niveaux; bac professionnel (bac pro) , bac technologique STI2D , bac S – SI (sciences de l’ingénieur), BTS, DUT, et CPGE (MPSI, TSI, PT).

Son étude s’appuie sur les fonctions logiques de base (OUI, NON, ET, OU, OU exclusif) et fait partie d’une culture technologique de base pour toutes formations technologiques.
La table de vérité (truth table) est un outil indispensable en logique combinatoire. Elle représente les états d’une variable logique de sortie à partir des différentes combinaisons des variables d’entrée.
Il existe un outil en ligne rapide et gratuit pour cela: Wolfram Alpha à l’adresse suivante: http://www.wolframalpha.com/
Wolfram alpha Cet outil permet notamment de représenter la table de vérité d’une équation logique.
À travers deux exemples de niveau différent, je vais montrer comment représenter rapidement et gratuitement une table de vérité à partir d’une expression logique.

Exemple n°1:

Prenons par exemple l’expression logique suivante:
exemple 1 - expression logique et fonctions
Dans Wolffram alpha pour obtenir la table de vérité d’une expression logique il faut saisir la commande ‘truth table puis l’équation logique en remplaçant la notation algébrique des fonctions logiques par l’équivalent anglo-saxon.
  • or = fonction logique OU
  • and = fonction logique ET
  • ~ = fonction NON
wolfram alpha - format
Equation logique 1 - wolfram alpha
On obtient la table de vérité ci-dessous, avec “T” = “True” = “1” et “F”= “False” = “0”
Exemple 1 - Table de vérité - Wolfram Alpha
Table de vérité n°1

La table de vérité peut être aussi utilisée pour vérifier par exemple la simplification d’une expression logique.

L’expression ci-dessus peut se simplifier algébriquement par:
equation logique 1 simplifiéVérifions la table de vérité avec Wolfram alpha la table de vérité.
De la même façon que précédemment, l’expression logique dans la barre de saisie se transforme de la manière suivante:
Equation logique 1 simplifié - wolfram alpha On obtient la table de vérité suivante:
Exemple 1 simplifié - Table de vérité - Wolfram Alpha
Table de vérité n°2

Les deux tables de vérité sont identiques. La simplification algébrique est donc correcte.

Exemple n°2:

Prenons maintenant comme deuxième exemple une équation logique plus complexe avec 3 variables d’entrée à simplifier algébriquement:
equation logique 2 simplifié
De la même façon que précédemment, l’expression logique dans la barre de saisie se transforme de la manière suivante:
Equation logique 2 simplifié - wolfram alpha
truth table (~a and b and c ) or (a and ~b and c) or (a and b and ~c ) or (a and ~b and ~c) or (~a and ~b and c)
On obtient la table de vérité ci-dessous:
Exemple 2 - Table de vérité - Wolfram Alpha
Après simplification l’expression logique devient:
equation logique 2 simplifié
Vérifions avec Wolfram Alpha sa validité:
Equation logique 2 simplifié - wolfram alpha
L’expression logique dans la barre de saisie se transforme de la manière suivante:
On obtient la table de vérité ci-dessous:
Exemple 2 simplifié - Table de vérité - Wolfram AlphaLes deux tables de vérité sont identiques, par conséquent la simplification algébrique est correcte.

Comment simplifier une équation logique ?

Cet article présente une application Android pour les techniciens et ingénieurs en électronique ou automatisme, et d’une manière générale pour tous les étudiants en sciences et technologie qui désirent un outil efficace pour simplifier les expressions et les équations logiques (booléennes).

L’application Android “Morgana Boolean Calculator X

simplification d'équation logique

Morgana Boolean Calculator X” est une application permettant de simplifier algébriquement une équation logique. Avec la version gratuite, que j’ai testée, vous pouvez saisir une expression logique de 4 variables et les fonctions logiques NON, OU, ET. L’application est téléchargeable en cliquant sur le lien suivant: “Morgana Boolean Calculator X

Cette application a quelque chose d’unique, elle permet non seulement de simplifier une expression logique, mais aussi, et surtout de vous montrer les différentes étapes de simplification.

L’application prend en charge les différentes propriétés de l’algèbre de Boole:

  • La commutativité;
  • L’associativité;
  • la distributivité;
  • Les éléments neutres;
  • L’idempotente;
  • L’absorption;
  • etc.

Une fonction intéressante consiste à sauvegarder la saisie de votre équation logique pour ensuite la charger plus tard.

J’ai testé la version gratuite 1.8. Pour l’installer sur votre Smartphone ou sur votre tablette, vous avez besoin de la version Android 2.3 ou une version ultérieure.

L’application Android “Morgana Boolean Calculator X ” est gratuite et comme toute application de ce genre, vous recevrez de temps en temps de la publicité, mais elle ne gêne en rien son utilisation.

L’application est en langue anglaise, mais ne nécessite aucun niveau particulier. Un simple niveau en anglais de fin de collège ou de début du lycée permet non seulement d’utiliser l’application, mais aussi de comprendre aisément la partie méthodologie pour obtenir la simplification.

Exemples de simplification algébrique d’équation logique

Pour présenter les fonctionnalités de l’application “Morgana Boolean Calculator X“, je vais utiliser dans la suite de cet article deux exemples basiques .

Pour illustrer son utilisation, j’utiliserai les 2 exemples de la page 511 du chapitre n°42, intitulée “Systèmes automatisés logiques”, du Guide des sciences et technologies industrielles
de Jean-Louis Fanchon
Dans ces exemples on souhaite simplifier les expressions logiques en utilisant les règles de l’algèbre de Boole.

Exemple n°1

On souhaite simplifier l’équation logique suivante:equation logique 2

L’application est très simple à utiliser. On saisit son équation, puis on la sauvegarde. Pour terminer, il suffit de cliquer sur le bouton entrer pour avoir le résultat et la simplification étapes par étapes.

On obtient d’après l’auteur :

equation logique 1 simplifié

équation logique 1

équation logique 2 simplifié

L’application donne un résultat différent. La simplification n’est pas terminée. On peut encore utiliser les règles de distributivité et d’absorption d’un terme pour obtenir le même résultat.

 

Exemple n°2

On souhaite simplifier l’équation logique suivante:

équation logique 2

On obtient d’après l’auteur :

équation logique 2 simplifié

L’application donne le même résultat.

équation logique 2

equation logique 2 simplifié

Vous pouvez vérifier vos résultats en vous aidant en réalisant une table de vérité, que j’ai présentée dans un précédent article: “Comment vérifier la simplification d’une équation logique avec une table de vérité?

Bilan

L’application Android “Morgana Boolean Calculator X” est un bon outil gratuit pour simplifier algébriquement les expressions et les équations logiques sans faire d’erreur, mais parfois, dans certain cas, le résultat peut être encore simplifier.